第1章 函数

1.1 命题与疑问

1.y=c不是函数

2.1=0

3.关于原点对称的函数一定是奇函数

4.两个奇函数之和一定是奇函数

5.分段定义的函数都是非初等函数

6.在任一有限区间上都有界的函数，在整个数轴上都有界

7.只有单调函数才有反函数

8.在定义域内每一点都有有限值，在任一点的邻域内都有界

9.不对称于原点的奇函数

10.没有周期的周期函数

11.周期函数的和（差）仍然是周期函数

12.周期函数与非周期函数的和仍然是非周期函数

13.两个非周期函数构成的复合函数仍然是非周期函数

14.任何周期函数都有最小正周期

15.两个无界函数之积仍然是无界函数

16.两个单调函数之积仍然是单调函数

17.在任何区间内都不单调的函数

18.√2是有理数

19.函数y=b的反函数

20.没有反函数的复合函数

21.√2=一√2

22.具有周期的非周期函数

23.1=0

24.单调函数的反函数却不是单调的

25.函数与它的反函数可以相等吗？

26.2π=π

1.2 错误及其纠正

第2章 数列

2.1 命题与疑问

1.非单调数列一定不收敛

2.单调而减少的数列一定以零为极限

3.数列的最后一项

4.0=1

5.e=＋∞

6.两个数列的比较

7.非单调数列一定不收敛

8.自然数列｛n｝收敛于0

9.收敛数列可以有两个不同的极限

10.无界的数列以∞为极限

11.发散数列的和一定发散

12.按数值调整数列

13.发散数列与收敛数列的积仍发散

14.既发散又收敛的数列

15.无理数的旋涡

16.？=＋∞

17.1=—1

18.发散数列的平均值

19.1/＋1/1＋…=0

20.投影的极限等于极限的投影

21.柯西收敛原理的困惑

22.所有的子数列都收敛则数列收敛

23.＋∞≤2

24.数列乘积收敛，则每一数列必收敛

25.数列的算术平均值收敛，则数列收敛

26.√1＋√1＋√1…=＋∞？

27.1/2=1

28.有理数列的极限一定是有理数

29.0=∞

^30.lim n→＋∞ nsin（2πen！）=∞

31.—1=＋∞

2.2 错误及其纠正

第3章 极限

3.1 命题与疑问

1.π2=2π

2.√2=2

3.π=2

4.π=4

5.π=2 2/3

6.ln2=0

7.sin（＋∞）=？

8.sin2x=2sinx

9.0=1/2

10.最高阶的无穷小

11.0＋0≠0

12.0×0×0…≠0

13.0×0×0…=＋∞

14.夹逼准则的失效

15.＋1=—1

16.1=＋∞

17.0≠0

18.0=1/2

19.1≠1

20.1/2=-∞

21.1=0

22.1=√5

23.π/2=1

24.1=0

25.lim n→∞ sinsin…sinx=？

26.lim x→＋∞（sin√x＋1-sin√x）不存在

27.无界函数一定是无穷大

28.lim sgn n→∞|sin2 （n！πx）=—1或0或＋1

29.复合函数的极限

30.两个无极限的函数之积仍无极限

31.1≠1

32.没有极限的复合函数的极限

33.0≠0

34.非无穷小的乘积可以是无穷小

35.√2=—√2

36.0=1

37.没有极限的极限

38.0=π

3.2 错误及其纠正

第4章 函数的连续性

4.1 命题与疑问

1.处处有定义而处处不连续的函数

2.仅在一点连续的函数

3.在无理点上连续而在有理点上间断的函数

4.不连续函数的和函数

5.两个不连续函数的乘积

6.不连续函数的复合

7.既连续又间断的函数

8.0=1

9.初等函数在其定义域内都连续

10.1=0

11.连续函数的极限函数仍然是连续函数

12.处处连续函数的极限函数依然是处处连续函数

13.仅在整数点上连续的函数

14.能取两个数之间的一切数值，函数就一定连续

15.不连续函数的反函数仍不连续

16.连续性概念的质疑

17.连续函数的图形上一定没有“洞”吗？

18.可以通过曲线任何点的圆柱形管子

19.面积误差一致的正方形

20.连续而有界的函数一定一致连续

21.一致连续的函数一定有界

22.既一致连续又不一致连续

23.两个一致连续函数之积一定一致连续

24.一致连续函数的反函数也一致连续

4.2 错误及其纠正

第5章 一元函数微分学

5.1 命题与疑问

1.处处间断函数的导数

2.仅在一点可导的函数

3.处处连续而无处可导的函数

4.0=＋∞

5.几乎处处可导又几乎处处不可导函数

6.f′（x0）=0说明了什么？

7.函数处处连续可导，导函数一定连续

8.f′（x0）＞0说明了什么？

9.函数在不连续点上的导数

10.无穷远∞处的导数

11.不能成为导函数的函数

12.存在切线吗？

13.1/2=—∞=＋∞

14.0=—∞

15.0=不存在

16.φ（a）≠φ（a）

17.函数在无定义点处的导数

18.处处不可导函数的复合却可以处处可导

19.d/dx（max｛f（x），g（x）｝）=？，d/dx（min{f（x），g（x）｝）=？

20.0≠0

21.中值定理的失效

22.lim x→x＋ 0 f′（x）=f′＋（x0），lim x→x- 0 f′（x）=f′-（x0）

23.与任何弦都不平行的切线

24.初等函数一定可导

25.严格单调增加的连续函数一定处处可导

26.严格单调增加而处处可导的函数，其导数必大于0

27.limsin x→0 1/x=0

28.sinα=√2

29.一点的切线

30.偶函数一定以x=0为极值点

31.重要极限lim x→0 sinx/x=1的新证法

32.0≠0

33.一切正分数都相等

34.＋π/6=-π/2

35.不能求得结果的极限

36.1 =不存在

37.0≠0

38.＋π=—π

39.0=e 1/e

40.0=不确定

41.limcos x→0 1/x=0

42.√2≤1

43.0=不存在

44.同一个函数？

45.√2=1

46.在圆内没有最大也没有最小的弦

47.0/0=0

48.在极值点的邻域内，两边的导数一定保持同一种符号

49.极大值等于极小值的非常值函数

50.0≠0

51.不等式的微分法

52.圆内每一点都是圆心

53.2√3＜3

54.2=∞

55.无法求得结果的极限

56.f″（x0）=0的点x0一定不取得极值

57.函数在一点任意阶导数都等于0，函数在该点能否取得极值

58.函数有n阶导数就有任意阶导数

59.椭圆处处向下凹

60.不存在最大值或最小值的闭区间上的连续函数

61.f″（x0）不存在，点（x0，f（x0））一定不是拐点

62.既取得极值又取得拐点

63.没有泰勒展开式的可展函数

64.对给定的误差，不能用多项式逼近的函数

65.函数在一点导数大于0，则函数在该点的邻域内单调增加

66.若导函数不连续，那么间断点是第几类？

67.曲线上两边凹凸方向不同的点就是拐点

68.若lim x→x- 0 f′（x）=lim x→x＋ 0 f′（x）则f′（x0）存在

69.区间之外的中值

70.求导的疑虑

71.4＞5

72.不是拐点的拐点

73.没有导数的导数

5.2 错误及其纠正

第6章 原函数与不定积分

6.1 命题与疑问

1.两个原函数之间相差不等于一个常数

2.不连续函数可以有原函数吗？

3.原函数对区间具有可加性

4.一切初等函数在其定义域内都有原函数

5.ln（—1）=0

6.初等函数的原函数一定是初等函数

7.一个函数可以有不同形式的原函数

8.没有原函数的两个函数的和函数却有原函数

9.偶函数的原函数是奇函数，奇函数的原函数是偶函数

10.积分是微分的逆运算

11.tanx=±i

12.sinx=±1

13.sin2x=1

14.连续函数的原函数却不连续

15.间断函数sgnx的不定积分

16.可积分函数的和不可积分

17.不能积分函数的和却可积分

18.有理函数的（不定）积分仍是有理函数

19.π/4=-π/4

20.0=1

21.0=1=2=…=n

22.积不出来的函数其和却可以积出来

23.周期函数的原函数仍然是周期函数

24.函数|x|处处可导

25.|x|=x

26.连续函数却没有原函数

6.2 错误及其纠正

第7章 定积分

7.1 命题与疑问

1.在区间上可积的函数一定存在原函数

2.0≠0

3.有界函数一定可积分

4.有无穷多间断点的函数也可积分

5.单调函数一定可积分

6.开区间内连续的函数可否积分？

7.绝对可积的函数一定可积

8.两个可积函数的复合函数一定可积

9.两个不可积函数的复合函数一定不可积

10.若f（x）≥0且可积，则∫b a f（x）dx＞0

11.可积函数与不可积函数之积可积分或不可积分

12.两个不可积函数的乘积仍不可积

13.d/dx∫x 0 f（t）dt≠f（x）

14.—2＞0

15.0=—2

16.-1/3＞0

17.-π/2=π/2

18.0=1

19.0≥π/3

20.失去的部分

21.在对称区间上奇函数的积分不等于零

22.sinx=cosx

23.0=1

24.2≠2

25.0≥2/3

26.1n2=1=0

27.0≥1/2

28.不存在的中值

29.π/2=-π/2

30.0≥0

31.π/4≠π/4

32.0=1

33.在对称区间上可积分的函数都是偶函数

34.牛顿-莱布尼茨公式的困惑

35.若|f（x）|可积分，则f（x）也可积分

36.估值的错误

37.π/4=π/4？

38.0＞π/4

39.d/dx∫x 0[t]dt=[x]

40.2π=5/2π

41.0=1

42.闭区间上连续曲线是否一定可求长

43.0=∞—∞

44.若∫＋∞ a f（x）dx收敛，则lim x→＋∞ f（x）=0

45.若∫＋∞ a f（x）dx收敛，则f（x）在[0，＋∞）内有界

46.图形无限面积却有限

47.面积无限体积却有限

48.若f（x）在[a，十∞）内绝对收敛，则和∫＋∞ a f2（x）dx也收敛

49.0=—2

50.∞—∞=0

51.连续奇函数的原函数是偶函数，连续偶函数的原函数是奇函数

7.2 错误及其纠正

第8章 多元函数微分学

8.1 命题与疑问

1.＋1=—1

2.0=1

3.0=—1

4.沿任意方向的极限存在，函数的极限就一定存在

5.0=√-∞

6.0≠0

7.e=1

8.0≠0

9.二元函数f（x，y）分别对每一个变量都连续就是二元连续函数

10.函数f（x，y）沿任意过点（x0，y0）的射线是连续的，则函数在该点连续

11.在每个点都连续的不连续函数

12.在平面上任一点都不连续的函数

13.存在偏导数就一定连续

14.存在偏导数就一定可微分

15.偏导数不连续，函数就不可微分

16.仅在一点可微分的函数

17.沿任意方向的方向导数存在，函数就一定连续

18.每一点都有偏导数，则偏导数就有界

19.√2=＋∞

20.函数沿任意方向的方向导数存在，函数就可微分

21.cosθ=cos3 θ

22.具有全微分的不可微函数

23.函数f（x，y）在点（x0，y0）处沿任意方向的方向导数都相等，则f′x（x0，y0）=f′y（x0，y0）

24.f′x（x，y）=f′y（x，y）≡0，则f（x，y是常数

25.0=1/√2

26.0=1/√2=＋∞

27.—1=＋1

28.二阶偏导数在某点存在，则一阶偏导数在该点连续

29.＋1=—1

30.存在隐函数却不唯一

31.函数f（x，y）过点（x0，y0）的任意直线上都有极值，函数在该点就一定有极值

32.—1＞0

33.在不连续点上函数是否有极值

34.有多个极大值而无极小值的函数

35.不是极值的极值

36.点到曲面的最短距离不存在

8.2 错误及其纠正

第9章 多元函数积分学

9.1 命题与疑问

1.＋1=—1

2.若∫d c dy∫b a f（x，y）dx=∫b a dx ∫d c f（x，y）dy，则函数f（x，y）在D：a≤x≤b，c≤y≤d上可积分

3.0≠0

4.π/4=—π/4

5.二重积分存在就能化作二次积分计算

6.0=0？

7.1/2=—1/2

8.二重积分由直角坐标变换到极坐标的疑问

9.3/2=—3/2

10.—4≥0

11.1≥1

12.0=1/2

13.1=0

14.1=0

15.能用二重积分计算单积分？

16.能用微分计算定积分？

17.连续函数的广义二重积分却不存在？

18.0=ln2

19.广义二重积分收敛，则绝对收敛？

20.不连续函数的积分可能连续吗？

21.4=5

22.0＞0

23.？P/？y=？Q/？x，积分却与路径有关

24.0=2π

25.非单连通区域上，曲线积分一定与路径有关

26.0=—8

27.0≠0

9.2 错误及其纠正

第10章 无穷级数

10.1 命题与疑问

1.级数若一项比一项小，则级数收敛

2.一般项趋于零，级数就收敛

3.无限长的图形能有有限的面积吗？

4.收敛的级数不必一项比一项小

5.＋∞=—1

6.1=0

7.1=1/2

8.e=1/2＋e

9.有和的发散级数

10.1/2=1/3

11.优于发散级数的收敛级数

12.部分和数列有界的发散级数

13.发散的收敛级数

14.发散级数的和级数仍然发散

15.两个发散级数的对应项乘积级数仍发散

16.两个收敛级数的对应项乘积级数仍收敛

17.每一个级数都可以收敛于预先指定的数

18.若lim n→＋∞ a n＋1/a n不存在，则级数发散

19.既发散又收敛的级数

20.两个收敛级数的柯西乘积级数一定收敛

21.两个发散级数的柯西乘积级数一定发散

22.0=0？

23.收敛的级数必定lim n→＋∞ a n＋1/a n＜1

24.极限比较法的失效？

25.部分和有界，级数就收敛

26.存在收敛或发散得最慢的级数

27.发散级数也有用？

28.几何级数与p-级数比较，哪个收敛得更慢？

29.ln2=3/2 ln2

30.1=2

31.ln2=0

32.ln2=0

33.ln2=1/2ln2

34.每一个数都等于0

35.—1=＋∞

36.1=1/2

37.每一个级数都可以收敛于预先给定的数值

38.1=0

39.发散的莱布尼茨型级数

40.0≤0

41.两个发散级数的差一定发散

42.1=3/2

43.后项不小于前项的交错级数一定发散

44.∞∑n=1（—1）n＋1=1/2？1/3？1/4？…

45.0＞1/2

46.收敛的级数中有发散的子级数

47.收敛级数重排后的级数仍然收敛

48.收敛于任何数的收敛级数

49.lim n→∞ a n＋1/a n=＋∞，级数就发散

50.e - 1/2 x=0

51.在收敛半径之外还收敛的幂级数

52.连续函数的无穷和可以是不连续吗？

53.幂级数在收敛区域内绝对收敛

54.幂级数在收敛区间（—R，R）内一致收敛

55.仅在一点收敛的幂级数也是一个函数的麦克劳林级数？

56.只在原点收敛的麦克劳林级数？

57.1/2=0

58.收敛的区域能扩大吗？

59.1=2

60.0=1

61.收敛区间内的发散级数

62.0=1/2

63.在收敛区域内仍发散的级数

64.绝对并一致收敛的级数=绝对值级数的一致收敛

65.一致收敛导致绝对收敛

66.各项都不连续的函数项级数能一致收敛于连续的函数吗？

67.收敛级数的导数仍然收敛

68.发散级数的导数仍然发散

69.∞∑n=1 ∫b a un（x）dx=∫b a ∞∑n=1 un（x）dx

70.可积分的收敛级数其和函数也可积分

71.不一致收敛的级数有连续的和函数？

72.不一致收敛级数的微商

73.＋∞=＋∞？

74.两个不同的函数可以有相同的泰勒级数？

75.不收敛于函数的麦克劳林级数？

76.圆的周长是椭圆周长的特例

77.收敛的三角级数都是傅氏级数

78.三角级数就是傅氏级数

79.0=±π

80.0=＋∞

81.不收敛的傅氏级数也可逐项积分？

82.0≠0

10.2 错误及其纠正

参考文献